Attualmente la migliore descrizione dello sviluppo del pensiero geometrico è rappresentata dalla teoria di Van Hiele.

Essa è diventata oggetto di ricerca accademica, ma è stata anche applicata in diversi studi sull’istruzione. In accordo con questa teoria, gli studenti si muovono attraverso livelli qualitativamente diversi di pensiero geometrico che però non si basano sullo sviluppo cognitivo, come sostenevano Piaget e Inhelder.

Il fulcro della teoria di Van Hiele è l’acquisizione del sistema concettuale basato sulle proprietà delle forme bidimensionali, a cui lo studente arriva se fa propri i precedenti livelli di ragionamento geometrico.

Tali livelli sono organizzati gerarchicamente e il passaggio da un livello all’altro è determinato dal grado d’istruzione e d’esperienza dello studente, e non tanto dall’età o dallo sviluppo fisico.

L’insegnante deve avere ben chiaro il contenuto di ogni singolo livello e deve capire in quale tra essi si trovano gli studenti, per poter elaborare un adeguato programma d’insegnamento.

Pierre Van Hiele
Pierre Van Hiele

I livelli di sviluppo del pensiero geometrico di Van Hiele, adattati da Clements sono:

 

Livello 0 (pre-riconoscimento) gli studenti iniziano a costruire schemi visivi delle forme, ma non distinguono esempi da “non-esempi”. Non sono in grado di identificare molte forme comuni perchè non prestano adeguata attenzione a tutte le loro caratteristiche visive.

Livello 1 (Visivo) gli studenti riconoscono la forma come un tutto, sono in grado di riconoscere le forme geometriche come degli interi visivi, ma non riescono a formarsi delle immagini mentali. Il loro ragionamento è dominato dall’immaginazione e non da formali concetti geometrici. Per identificare le forme essi utilizzano frequentemente dei prototipi visivi dicendo per esempio che una figura corrisponde ad un rettangolo perchè “assomiglia ad una porta”. Non giungono a formulare definizioni, a cogliere proprietà e attributi delle forme.

Livello 2 (descrittivo/analitico) gli studenti riconoscono e caratterizzano le figure dalle loro proprietà geometriche: utilizzano esplicitamente concetti geometrici formali per descrivere le relazioni spaziali tra le parti di due figure, riconoscono le forme sulla base delle proprietà (es. “questa figura è un quadrato perché ha 4 lati uguali”). Benchè ancora importante, l’apparenza olistica delle forme diventa secondaria.

Livello 3 (deduzioni informali o geometria euclidea) gli studenti cominciano ad osservare le varie relazioni dal punto di vista logico, affinano il linguaggio e imparano la terminologia tecnica. Essi comprendono e formulano definizioni astratte, distinguono tra categorie necessarie e sufficienti di proprietà fra classi di figure. Essi classificano le figure in gerarchie e danno argomentazioni logiche per giustificare le loro classificazioni. Per esempio, un quadrato potrebbe essere classificato come un rombo perchè possiede la proprietà di definizione di un rombo, ossia quattro lati e congruenti. Comprendono il ruolo di assiomi, termini indefiniti e teoremi; capiscono il significato della prova e possono costruirsi un percorso per la soluzione tra diverse alternative.

Livello 4 (logica formale) gli studenti provano formalmente i teoremi in un sistema assiomatico, compiono distinzioni di una proposizione e la sua inversa, comprendono per dimostrazione. Il pensiero si occupa del significato di deduzione, del reciproco di un teorema, della condizione necessaria e sufficiente.

Livello 5 (rigore) gli studenti possono apprendere la geometria non-euclidea e confrontare diversi sistemi di assiomi.

I livelli sopra descritti sono separati e tra loro distinti, ma è chiaro che quelli superiori includono e necessitano di quelli inferiori, mentre recenti ricerche dimostrano che gli studenti possono ragionare a più livelli, secondo la situazione.

La ricerca di Van Hiele è ampiamente utilizzata negli Stati Uniti come un indice della preparazione degli studenti in geometria e per classificare gli studenti in termini di comprensione di concetti geometrici.

Il modello di Van Hiele è dunque veramente utile sia da un punto di vista teorico, sia nella pratica educativa.

Ad integrazione di questo modello, Clements e Sarama hanno voluto compiere una ricerca su ciò che pensano i bambini sulle più comuni figure geometriche (cerchio, quadrato, triangolo rettangolo). Hanno intervistato 128 bambini d’età compresa tra i 4 e i 6 anni, sottoponendoli a vari compiti tra i quali identificare figure tra vari distrattori o riconoscerle anche se orientate diversamente. Dai risultati è emerso che la figura più facilmente riconosciuta è il cerchio. I bambini riconoscevano il quadrato correttamente (87%), erano meno accurati nel riconoscere il triangolo (60%) e ancor meno precisi con il rettangolo (54%).

La teoria di Van Hiele ripresa e aggiornata da Clements e Batista si può studiare in:

Clements, D. H., Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. A. Grouws (a cura di) Handbook of research on mathematics teaching and learning(pp. 420-464). New York, (NY): England: Macmillan Publishing Co.

Crowley, M. L. (1987). The van Hiele model of the development of geometric thought. In Learning and Teaching Geometry, K-12, 1987 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics, Mary Montgomery Lindquist, Reston, Va.: National, 1987, 1-16.

van Hiele, P.M. (1986). Structure and insight. A theory of Mathematics Education, Academic Press: Orlando, USA.

Ulteriori indicazioni bibliografiche nella pagina dedicata.

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